Some combinatorics of rhomboid-shaped fully packed loop configurations

The study of rhomboid-shaped fully packed loop configurations (RFPLs) is inspired by the work of Fischer and Nadeau on triangular fully packed loop configurations (TFPLs). By using the same techniques as they did some nice combinatorics for RFPLs arise. To each RFPL and to each oriented RFPL a quadruple of binary words (α, β; γ, δ) – its so-called boundary – is assigned. There are necessary conditions for the boundary of an RFPL respectively an oriented RFPL. For instance, it has to fulfill the inequality d(γ) + d(δ) ≥ d(α) + d(β) + |α|0|β|1, where |α|i denotes the number of occurrences of i = 0, 1 in α and d(α) denotes the number of inversions of α. Furthermore, the number of ordinary RFPLs with boundary (α, β; γ, δ) can be expressed in terms of oriented RFPLs with the same boundary. Finally, oriented RFPLs with boundary (α, β; γ, δ) such that d(γ) + d(δ) = d(α) + d(β)+ |α|0|β|1 are considered. They are in bijection with rhomboid-shaped Knutson-Tao puzzles. Also, LittlewoodRichardson tableaux of defect d are defined. They can be understood as a generalization of Littlewood-Richardson tableaux. Those tableaux are in bijection with rhomboid-shaped Knutson-Tao puzzles. Résumé. L’étude des configurations de boucles compactes dans un rhomboı̈de (”rhomboid-shaped fully packed loop configurations”, RFPLs) est inspirée des travaux de Fischer et Nadeau sur les configurations de boucles compactes dans un triangle (TFPLs). En utilisant les mêmes techniques, des résultats combinatoires sont obtenus pour les RPFLs. À chaque RPFL et à chaque RPFL orienté nous associons un quadruplet de mots binaires (α, β; γ, δ), appelé sa frontière. Il existe des conditions nécessaires pour la frontière des RPFLs, resp. des RPFLs orientés. Par exemple, la frontière (α, β; γ, δ) doit satisfaire l’inégalité d(γ) + d(δ) ≥ d(α) + d(β) + |α|0|β|1, où |α|i désigne le nombre d’occurrences de i = 0, 1 dans α et d(α) est le nombre d’inversions de α. D’autre part, le nombre de RPFLs ordinaires de frontière (α, β; γ, δ) est exprimé en termes de RPFLs orientés de même frontière. Enfin, nous considèrons des RPFLs orientés de frontière (α, β; γ, δ) tels que d(γ)+d(δ) = d(α)+d(β)+ |α|0|β|1. Ceux-ci sont en bijection avec les puzzles de Knutson-Tao sur un rhomboı̈de. De plus, nous définissons les tableaux de LittlewoodRichardson de défaut d, qui peuvent être vus comme des généralisations des tableaux de Littlewood-Richardson. Ces tableaux sont en bijection avec les puzzles de Knutson-Tao sur un rhomboı̈de.